HIMPUNAN

MENGENAL HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda atau objek.

Contoh :

a.       Kumpulan murid kelas VII.

b.      Himpunan santri asal Bandung.

c.       Kelompok siswa yang gemar bulutangkis.

d.      Kelompok hewan pemakan daging.

Suatu himpunan atau kelompok atau kumpulan diberinama dengan huruf alfabet besar seperti huruf  A, B, C, X, W dan seterusnya. Misalnya :

A adalah kumpulan murid kelas VII.

Y adalah himpunan santri asal Bandung.

X adalah kelompok siswa yang gemar bulutangkis.

C adalah Kelompok hewan pemakan daging.

MENYEBUTKAN ANGGOTA DAN BUKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN

SERTA NOTASINYA

Notasi :           -   {} = Setiap anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal

                             -         = Anggota

                             -         = Bukan anggota

Untuk menentukan anggota atau bukan anggota dari suatu himpunan, terlebih dahulu kita harus mengetahui himpunan apakah yang dimaksud.

Contoh :

a.       A adalah himpunan bulan dalam kalender masehi yang diawali dengan huruf J. Dari himpunan bulan masehi, maka yang termasuk kedalam anggota A adalah Januari, Juni, dan Juli. Sehingga ditulis Januari  A, Juni  A, Juli  A. Secara notasi maka yang termasuk anggota A = {Januari,Juni,Juli}.

Bagaimana dengan bulan April atau Desember? Karena bulan April dan desember tidak diawali dengan huruf J maka bulan April dan Desember bukan termasuk anggota A sehingga ditulis April  A dan Desember  A.

b.      Terdapat kumpulan binatang sebagai berikut :

Kerbau, Monyet, Kambing, Elang, Harimau, kucing, Jaguar, Kuda.

X adalah himpunan binatang herbivora. Tentukan anggota X ?

Dari hewan-hewan tersebut dapat diketahui, Kerbau  X, Kambing  X dan Kuda  X. Maka X = {Kerbau, Kambing, Kuda}. Sedangkan Monyet, Elang, Harimau, Kucing, Jaguar  X.

Untuk menyatakan himpunan dapat kita gunakan tiga cara yaitu :

a.    Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b.      Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada

cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun,

anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah

yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis:

P = { x │10 < x < 40, x  bilangan prima}.

c.       Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis-

kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-

anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:  P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

HIMPUNAN KOSONG DAN NOTASINYA

Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan tersebut tidak memiliki anggota himpunan. Adapun notasi dari himpunan kosong adalah atau {}.

Contoh :

a.       Terdapat bilangan 3,4,5,6,7. Jika X adalah himpunan bilangan antara 10-20, tentukan anggota X?

Karena dari bilangan tersebut tidak terdapat bilangan antara 10-20, maka X =

b.      Di sebuah kebun binatang terdapat binatang Buaya, Badak, Harimau, Kambing, Singa, Rusa dan Gajah. Jika B adalah himpunan binatang yang dapat terbang, tentukan anggota himpunan B?

Karena dari binatang yang terdapat di kebun binatang tersebut tidak terdapat satupun jenis burung sedangkan B adalah himpunan binatang yang dapat terbang maka B = {}

HIMPUNAN BAGIAN DAN BANYAKNYA HIMPUANAN BAGIAN

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B  jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B dan dinotasikan A  B.

Contoh :

a.         A = {2,3,4,5}

        B = {1,2,3,4,5,6}

        C = {1,3,5,7}

·      Himpunan A  B karena setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

·      Himpunan C B karena 7 bukan anggota himpunan B ( 7  B )

b.        X = {k,l,m,n,o,p,q,}

Y = {o,p,q,r,s}

Z = {l,m,n}

·         Y  X, Karena terdapat anggota Y yaitu r dan s yang bukan merupakan anggota himpunan X.

·         Z  X, karena setiap anggota himpunan Z juga merupakan anggota himpunan Z.

·         Y  Z, karena terdapat anggota himpunan Y yang bukan anggota himpunan Z, dan juga sebaliknya.

 BANYAKNYA HIMPUNAN BAGIAN

Banyaknya anggota bagian dari suatu himpunan dirumuskan dalam bentuk 2ⁿ, dengan n adalah banyak anggota himpunan tersebut.

Contoh :

Tentukan banyaknya anggota bagian dari himpunan berikut :

a.       K = {0,1,2}

b.      L = {p,q,r,s}

Jawab :

a.       K = {0,1,2}

Banyaknya anggota himpunan K adalah 3, sehingga :

2ⁿ = 2³ = 8

Yaitu : {  }, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}

Cat : Himpunan kosong { } juga merupakan anggota setiap himpunan.

b.      L = {p,q,r,s}

Banyaknya anggota himpunan K adalah 4, sehingga :

2ⁿ = 2⁴ = 16

Yaitu :  {  }, {p}, {q}, {r}, {s}, {p,q}, {p,r}, {p,s}, {q,r}, {q,s}, {r,s}, {p,q,r}, {p,q,s}, {p,r,s}, {q,r,s}, {p,q,r,s}.

DIAGRAM VENN

Diagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang. Adapun ketentuan dalam membuat diagram venn dalam adalah sebagai berikut :

-     Himpunan semesta dinyatakan dalam persegi panjang. Simbol S untuk semesta disimpan di pojok kiri atas.

-      Setiap himpunan yang dibicarakan selain (himpunan kosong)digambarkan dengan kurva tertutup.

-      Setiap anggota ditunjukan dengan noktah (titik).

-      Jika anggotanya sangat banyak maka cukup ditulis Himpunannya saja.

Contoh :

a.       S = {ayam, burung, singa, jerapah, gajah, paus, Kucing}.

A = himpunan hewan bertaring.

Maka diagram venn yang menunjukan himpunan diatas adalah :

 b.      S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

X = {1,2,4,5}

Y = {6,7,8}

Maka diagram venn yang menunjukan himpunan diatas adalah :

 

 c.    S = Himpunan siswa SMP di Sekolahmu.

K = Himpunan Siswa Kelas VII di Sekolahmu.

L = Himpuan Siswa putri  Kelas VII di Sekolahmu.

Maka diagram venn yang menunjukan himpunan diatas adalah :

IRISAN dan GABUNGAN DUA HIMPUNAN

1.      Irisan Dua Himpunan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua objek atau anggota himpunan yang sekaligus menjadi anggota himpunan A dan B. Adapun bentuk umum irisan adalah :

Contoh :

a.       A = {Hasya,Yasmin,Sinta,Fauzan,Heldan,Firman,Kafa,Tyo}

B = {Fajrin,Fajar,Jami,Hasya,Fauzan,Heldan,Tyo,Sinta,Agung}

Dari himpunan A dan B tersebut, terdapat anggota-anggota himpunan sdari kedua himpunan tersebut yang sama. Maka anggota himpunan A dan B yang sama inilah yang disebut dengan Irisan. Dengan menggunakan diagram venn maka irisan A dan B adalah sebagi berikut :

 b.      Jika A = {1,2,3,4,5} 

      dan B  = {2,3,5,6}

      Maka = {2,3,5}, ditunjukan pada diagram venn berikut :

 2.      Gabungan Dua Himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B adalah semua objek yang merupakan anggota A dan B.

Adapun bentuk umum dari Gabungan adalah :

Contoh :

a.       A = {x │1 ≤ x < 15, x adalah bilangan asli}

B = himpunan bilangan genap yang kurang dari 10

Dari kedua himpunan tersebut kita dapat menyebutkan untuk anggota :

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}

B = {2,4,6,8,}

Sedemikian sehingga          

b.     S = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

K ={a,b,c,d,e,f}

L = {b,c,d,e}

Dari ketiga himpunan tersebut, kita dapat menentukan bahwa K U L = {a,b,c,d,e,f}.

Dengan menggunakan diagram venn dapat digambarkan sebagi berikut :

PEMECAHAN MASALAH HIMPUNAN

Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan konsep himpunan, terlebih dahulu kita harus memahapi tentang  irisan, gabungan dan juga inotasinya. Dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan himpunan yang sering digunakan adalah diagram venn.

Contoh :

1.      Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?

Jawab :

Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja. Perhatikan gambar berikut :

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu : 

       Musik = 24 – 16 = 8
       Olahraga = 30 – 16 = 14
       Dengan demikian  himpunan semestanya :
       S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.     Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :

a.         Orang yang gemar melukis dan menulis saja

b.         Orang yang gemar membaca dan melukis saja

c.         Orang yang gemar membaca saja

d.        Orang yang gemar menulis saja

e.         Orang yang gemar melukis saja

f.          Orang yang tidak suka ketiganya.

Jawab :

Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

a.         Orang yang gemar melukis dan menulis saja

40 – 30 = 10 orang

b.         Orang yang gemar membaca dan menulis saja

35 – 30 = 5 orang

c.         Orang gemar membaca saja

60 – 30 – 5 = 25orang

d.        Orang yang gemar menulis saja

50 – 30 – 10 = 10 orang

e.         Orang yang gemar melukis saja

45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong  atau

f.          Orang yang tidak suka ketiganya

100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang